Vektorrom
Definisjon og aksiomer, eksempler, lineærkombinasjon, spenn og lineær uavhengighet
Vektorrom
Et vektorrom over $\mathbb{R}$ er en mengde $V$ med addisjon og skalarmultiplikasjon som oppfyller 8 aksiomer: lukkethet, assosiativitet, kommutativitet, nullelement $\mathbf{0}$, invers $-v$, identitetsskalering $1\cdot v = v$, og to distributivlover. Over $\mathbb{C}$ brukes komplekse skalarer.
Standard eksempler
- $\mathbb{R}^n$ — kolonnevektorer, $\dim = n$
- $\mathbb{P}_n$ — polynomer av grad $\leq n$, $\dim = n+1$
- $C[a,b]$ — kontinuerlige funksjoner på $[a,b]$, uendelig-dimensjonalt
- $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ — reelle $m\times n$-matriser, $\dim = mn$
Lineærkombinasjon og Spenn
En lineærkombinasjon av $v_1,\ldots,v_k \in V$ er $r_1 v_1 + \cdots + r_k v_k$ med $r_i \in \mathbb{R}$. Spennet:
$$\operatorname{Span}(v_1,\ldots,v_k) = \{r_1 v_1 + \cdots + r_k v_k \mid r_i \in \mathbb{R}\}$$$\operatorname{Span}(S)$ er alltid et underrom av $V$.
$v_1=(2,1,3)^T$, $v_2=(1,-3,4)^T$ i $\mathbb{R}^3$: $\operatorname{Span}(v_1,v_2)$ er et plan gjennom origo med ligning $13x-5y-7z=0$.
Lineær Uavhengighet
$v_1,\ldots,v_k$ er lineært uavhengige dersom
$$r_1 v_1 + \cdots + r_k v_k = \mathbf{0} \;\Rightarrow\; r_1 = \cdots = r_k = 0.$$Ellers er de lineært avhengige.
I $\mathbb{R}^n$ kan man ha høyst $n$ lineært uavhengige vektorer. Enhver mengde med mer enn $n$ vektorer i $\mathbb{R}^n$ er lineært avhengig.
Basis, Underrom og Lineærtransformasjoner
Basis og dimensjon, underrom, lineærtransformasjoner og matriserom
Underrom
$U \subseteq V$ (ikke-tom) er et underrom dersom $u,v\in U \Rightarrow u+v\in U$ og $u\in U, r\in\mathbb{R} \Rightarrow ru\in U$. $\operatorname{Span}(S)$ er alltid et underrom.
Basis og Dimensjon
$S=\{v_1,\ldots,v_n\}$ er en basis for $V$ dersom $S$ er lineært uavhengig og $\operatorname{Span}(S)=V$. Alle baser har like mange elementer — dimensjonen $\dim V$.
- $\mathbb{R}^n$: $\{e_1,\ldots,e_n\}$, standardbasis
- $\mathbb{P}_n$: $\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}$, $\dim\mathbb{P}_n=n+1$
- $M_{m\times n}$: matrisene $E_{ij}$ (en 1 i posisjon $ij$, null ellers)
Lineærtransformasjoner
$T:V\to W$ er en lineærtransformasjon dersom $T(u+v)=T(u)+T(v)$ og $T(ru)=rT(u)$ for alle $u,v\in V$, $r\in\mathbb{R}$.
Matriserom
For $A\in M_{m\times n}$:
- Kolonnerom $\operatorname{Col}A=\operatorname{Span}(\text{kolonner})\subseteq\mathbb{R}^m$
- Radrom $\operatorname{Row}A=\operatorname{Span}(\text{rader})\subseteq\mathbb{R}^n$
- Nullrom $\operatorname{Nul}A=\{x\mid Ax=\mathbf{0}\}\subseteq\mathbb{R}^n$
- Rang $\operatorname{rank}A=\dim(\operatorname{Col}A)=\dim(\operatorname{Row}A)$ = antall pivotelementer
Basis for $\operatorname{Col}A$: pivotkolonnene i $A$. Basis for $\operatorname{Nul}A$: løsningsvektorer for de $n-\operatorname{rank}A$ frie variablene.
Matriserom, Rangteorem og Isomorfi
Kjerne og bilde, injektivitet, surjektivitet, isomorfier, koordinatavbildning og matriserepresentasjon
Kjerne og Bilde
For $T:V\to W$ lineær: $\operatorname{Ker}T=\{v\in V\mid T(v)=\mathbf{0}\}$ (underrom av $V$), $\operatorname{Ran}T=T(V)$ (underrom av $W$).
$T$ er injektiv $\iff\operatorname{Ker}T=\{\mathbf{0}\}$. $T$ er surjektiv $\iff\operatorname{Ran}T=W$.
Isomorfi og Koordinatavbildning
$T$ er en isomorfi dersom den er bijektiv (injektiv og surjektiv). Da er $V\cong W$.
Koordinatavbildningen $K:V\to\mathbb{R}^n$ for basis $B_V=\{v_1,\ldots,v_n\}$:
$$K(v)=[v]_{B_V}=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_n\end{pmatrix} \quad\text{der }v=r_1 v_1+\cdots+r_n v_n.$$$K$ er en isomorfi — ethvert $n$-dimensjonalt $V$ er isomorft med $\mathbb{R}^n$.
Matriserepresentasjon
For $T:V\to W$ med baser $B_V=\{v_1,\ldots,v_n\}$, $B_W=\{w_1,\ldots,w_m\}$:
$$[T(v)]_{B_W}=[T]_{B_W\leftarrow B_V}\cdot[v]_{B_V}$$Kolonnene i $[T]_{B_W\leftarrow B_V}$ er $[T(v_1)]_{B_W},\ldots,[T(v_n)]_{B_W}$.
Dersom $T(v_1), T(v_2), T(v_3)$ er kjent kan man bygge $[T]_{B_W\leftarrow B_V}$ direkte. For standardbasen er $[T]_{\text{std}} = \begin{pmatrix}T(e_1)&T(e_2)&T(e_3)\end{pmatrix}$.
Basisskifte og Indreprodukt
Skifte av basis, similære matriser, euklidsk indreprodukt og projeksjon
Skifte av Basis
Basisskiftematrisen $P_{B_2\leftarrow B_1}$ oppfyller $[v]_{B_2}=P_{B_2\leftarrow B_1}[v]_{B_1}$ for alle $v\in V$.
Dersom $[T]_{B_1}=A$ og $[T]_{B_2}=B$ er $B=P^{-1}AP$ der $P=P_{B_1\leftarrow B_2}$. Similære matriser har samme egenverdier, determinant og spor.
$B_1=\{1,x,x^2\}$ (standard), $B_2=\{2,x+x^2,x^2\}$. Skriv $B_2$-vektorene i $B_1$-koordinater og stabél dem som kolonner i $P_{B_1\leftarrow B_2}$.
Indreprodukt (Skalarprodukt)
Geometrisk: $x\cdot y=\|x\|\|y\|\cos\theta$. To vektorer er ortogonale dersom $x\cdot y=0$.
Projeksjon
Komponenten $y-\operatorname{proj}_x y$ er ortogonal på $x$.
Ortogonalt Komplement
Enhver $v\in V$ dekomponerer unikt: $v=v_U+v_{U^\perp}$, og $\|v\|^2=\|v_U\|^2+\|v_{U^\perp}\|^2$.
Generelt Indreprodukt og Projeksjon
Abstrakte indreproduktrom, Cauchy-Schwarz, projeksjon på underrom, Legendre og sinus/cosinus
Generelt Indreprodukt
$\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{R}$ er et indreprodukt dersom:
- $\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle$ (symmetri)
- $\langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle$ (additivitet)
- $\langle rv,w\rangle=r\langle v,w\rangle$ (homogenitet)
- $\langle v,v\rangle\geq 0$ og $\langle v,v\rangle=0\Leftrightarrow v=\mathbf{0}$ (positivt definitt)
Norm: $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$. Ortogonal: $\langle u,v\rangle=0$.
Viktige eksempler
- $\mathbb{R}^n$: $\langle x,y\rangle=x^Ty$
- $C[-1,1]$: $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 f(x)g(x)\,dx$
- $C[-\pi,\pi]$: $\langle f,g\rangle=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\,dx$
Cauchy-Schwarz og Trekantulikheten
Likhet i Cauchy-Schwarz $\Leftrightarrow$ $u$ og $v$ er proporsjonale.
Projeksjon på Underrom
La $\{u_1,\ldots,u_k\}$ være ortonormal basis for $U$ ($\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij}$). Da:
$$v_U=\operatorname{proj}_U v=\sum_{i=1}^k\langle u_i,v\rangle\,u_i$$$v_U$ er den unike vektoren i $U$ nærmest $v$, og $v-v_U\perp U$.
Med $\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi fg\,dx$:
$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(mx)\cos(nx)\,dx=\delta_{mn}, \quad \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\sin(mx)\sin(nx)\,dx=\delta_{mn}$$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(mx)\sin(nx)\,dx=0$ for alle $m,n$.
Gram-Schmidt og Egenverdier
Gram-Schmidt-prosessen, Legendre-polynomer, egenverdier/egenvektorer og diagonalisering
Gram-Schmidt-prosessen
Gitt basis $\{v_1,\ldots,v_n\}$ for $U$. Konstruer ortonormal basis $\{u_1,\ldots,u_n\}$:
$$\tilde{u}_1=v_1,\quad u_1=\frac{\tilde{u}_1}{\|\tilde{u}_1\|}$$ $$\tilde{u}_k=v_k-\sum_{j=1}^{k-1}\langle u_j,v_k\rangle\,u_j,\quad u_k=\frac{\tilde{u}_k}{\|\tilde{u}_k\|}\quad(k=2,\ldots,n)$$Med $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 fg\,dx$ på $\{1,x,x^2,x^3\}$:
$$u_0=\sqrt{\tfrac{1}{2}},\quad u_1=\sqrt{\tfrac{3}{2}}\,x,\quad u_2=\sqrt{\tfrac{5}{8}}(3x^2-1),\quad u_3=\sqrt{\tfrac{7}{8}}(5x^3-3x)$$Egenverdier og Egenvektorer
$\lambda\in\mathbb{R}$ er en egenverdi for $A$ dersom $Ax=\lambda x$ for en $x\neq\mathbf{0}$ (egenvektor). Finnes via karakteristisk ligning $\det(A-\lambda I)=0$. Egenrom: $E_\lambda=\operatorname{Nul}(A-\lambda I)$.
$A=\begin{pmatrix}0&0&-2\\1&2&1\\1&0&3\end{pmatrix}$, egenverdier $\lambda_1=1$, $\lambda_2=2$. Egenvektorer danner basis for $\mathbb{R}^3$ → $A$ er diagonaliserbar.
$M=\begin{pmatrix}5&6&2\\0&-1&-8\\1&0&-2\end{pmatrix}$, $\lambda_1=-4$, $\lambda_2=3$ (algebr. mult. 2), men $\dim(E_3)=1\lt 2$. $M$ er ikke diagonaliserbar.
Diagonalisering
$A\in M_{n\times n}$ er diagonaliserbar $\Leftrightarrow$ $A$ har $n$ lineært uavhengige egenvektorer. Da er $A=PDP^{-1}$ med $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ og $P=\begin{pmatrix}p_1&\cdots&p_n\end{pmatrix}$.
Diagonalisering og Differensialligninger
Ortogonal diagonalisering, spektralteoremet, lineære ODE-systemer og komplekse egenverdier
Ortogonal Diagonalisering
$P$ er ortogonal dersom $P^TP=I$ (dvs. $P^{-1}=P^T$). Kolonnene danner ortonormal basis.
$A$ er ortogonalt diagonaliserbar $\Leftrightarrow$ $A=A^T$ (symmetrisk). Da eksisterer ortogonal $P$ og reell diagonal $D$ med $A=PDP^T$. Egenverdiene er reelle; egenvektorer til ulike egenverdier er ortogonale.
Lineære ODE-Systemer
$\mathbf{y}'(t)=A\mathbf{y}(t)$, $\mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0$.
- Diagonaliser: $A=PDP^{-1}$
- Sett $\mathbf{z}=P^{-1}\mathbf{y}$: $\mathbf{z}'=D\mathbf{z}$ gir $z_i'=\lambda_i z_i$
- Løs: $z_i(t)=c_i e^{\lambda_i t}$
- Tilbake: $\mathbf{y}(t)=P\mathbf{z}(t)=c_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{p}_1+\cdots+c_n e^{\lambda_n t}\mathbf{p}_n$
Inhomogent system $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}+\mathbf{b}$: $\mathbf{y}=\mathbf{y}_h+\mathbf{y}_s$ (superposisjonsprinsippet).
Komplekse Egenverdier
Reell $A$ kan ha konjugatpar $\lambda=\alpha\pm\beta i$. Løsningen uttrykkes med $e^{\alpha t}\cos(\beta t)$ og $e^{\alpha t}\sin(\beta t)$.
$\lambda=\pm 3i$ ($\alpha=0$): ren oscillasjon. Løsning: $y(t)=A\cos(3t)+B\sin(3t)=2\cos(3t+\pi/6)$.
Applikasjoner
- Elektriske kretser (to sløyfer): $2\times 2$ system
- To masser og fjærer: $4\times 4$ matrisesystem
- 2. ordens ODE: $y''+py'+qy=0 \;\Leftrightarrow\; \mathbf{z}'=A\mathbf{z}$ med $\mathbf{z}=(y,y')^T$
Numerisk Løsning av ODEer I
Eulers metoder, trapesmetoden, Runge-Kutta, feilanalyse og Butcher-tablå
Initialverdiproblemet
IVP: $y'(t)=f(t,y(t))$, $y(t_0)=y_0$. Numerisk løsning: tabell $u_0,u_1,\ldots,u_N$ med $u_n\approx y(t_n)$, $t_n=t_0+nh$.
Orden $p$: global feil $|y_n-u_n|\leq Ch^p$.
Dersom $f$ er Lipschitz i $y$: $|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\leq L|y_1-y_2|$, har IVP en unik løsning.
Forlengs Euler
Lokal feil $O(h^2)$. Global feil: $|e_n|\leq\dfrac{e^{L(t_n-t_0)}-1}{L}\cdot\dfrac{M}{2}\cdot h=O(h)$, $M=\max|y''|$.
Baklengs Euler
Krever løsning av en ligning for $u_{n+1}$ per steg. Ubetinget stabilt (A-stabilt).
Forbedret Euler / Heuns metode
Modifisert Euler
Trapesmetoden (Crank-Nicolson)
Lokal feil $O(h^3)$, global feil $O(h^2)$.
Generell Runge-Kutta / Butcher-tablå
Butcher-tablå: $c|A$ over $b^T$. Eksplisitt: $a_{ij}=0$ for $j\geq i$.
| Metode | $c$ | $b$ | Orden | Type |
|---|---|---|---|---|
| Forlengs Euler | $0$ | $1$ | 1 | Ekspl. |
| Baklengs Euler | $1$ | $1$ | 1 | Impl. |
| Heun (Forb. Euler) | $0,\;1$ | $\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{2}$ | 2 | Ekspl. |
| Modifisert Euler | $0,\;\tfrac{1}{2}$ | $0,\;1$ | 2 | Ekspl. |
| Trapesmetoden | $0,\;1$ | $\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{2}$ | 2 | Impl. |
Numerisk Løsning av ODEer II
RK4, stabilitet, Lotka-Volterra, numerisk derivasjon og leapfrog
Klassisk Runge-Kutta 4 (RK4)
Global feil $O(h^4)$.
Stabilitet
Test-ligning: $y'=\lambda y$, $\operatorname{Re}(\lambda)\lt 0$. En metode er stabil dersom den diskrete løsningen ikke vokser ubegrenset.
- Forlengs Euler: stabilt for $|1+h\lambda|\leq 1$, krav $h|\lambda|\leq 2$ — kondisjonelt stabilt
- Baklengs Euler: stabilt for alle $\operatorname{Re}(\lambda)\lt 0$ — ubetinget stabilt (A-stabilt)
- RK4: større stabilitetsregion enn Euler, men fortsatt kondisjonelt stabilt
$x$ = byttedyr, $y$ = rovdyr. Periodiske løsninger i faseplanet. Løs numerisk med RK4.
Numerisk Derivasjon
- Fremover-differanse: $f'(x)\approx\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, feil $O(h)$
- Sentral-differanse: $f'(x)\approx\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$, feil $O(h^2)$
- Andre deriverte: $f''(x)\approx\dfrac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$, feil $O(h^2)$
Leapfrog / Störmer-Verlet
For $y''=g(t,y)$ (ingen $y'$-avhengighet):
$$v_{n+1/2}=v_{n-1/2}+h\,g(t_n,y_n),\qquad y_{n+1}=y_n+h\,v_{n+1/2}$$Symplektisk (bevarer energi på lang sikt), orden 2. Brukes i mekanikk-simulasjoner.
Rekker og Konvergenstester
Tallfølger, uendelige rekker, geometrisk rekke, $p$-rekker og klassiske konvergenstester
Tallfølger og Rekker
$\sum_{n=1}^\infty a_n$ har delsummer $S_N=\sum_{n=1}^N a_n$. Rekken konvergerer til $S$ dersom $\lim_{N\to\infty}S_N=S$. Ellers divergerer den.
Divergerer for $|k|\geq 1$. Eks: $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\cdots=1$.
$\sum a_n$ konvergerer $\Rightarrow\lim a_n=0$. Obs: $\sum\frac{1}{n}$ divergerer selv om $\frac{1}{n}\to 0$.
p-Rekker
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ (Euler 1735). Harmonisk rekke $\sum\frac{1}{n}$ divergerer.
Integraltesten
$a_n=f(n)$, $f$ positiv og ikke-voksende på $[1,\infty)$:
$$\sum a_n\text{ konvergerer}\iff\int_1^\infty f(x)\,dx\text{ konvergerer}$$Eks: $\sum\frac{1}{n(\ln n)^2}$ konvergerer; $\sum\frac{1}{n\ln n}$ divergerer.
Leibniz' test (Alternerende rekker)
$\sum(-1)^n a_n$ konvergerer dersom $|a_n|\geq|a_{n+1}|$ og $|a_n|\to 0$.
- $1-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}-\cdots=\tfrac{\pi}{4}$ (Leibniz 1676)
- $1-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}-\cdots=\ln 2$
Sammenligningstesten
$0\leq a_n\leq b_n$: $\sum b_n$ konvergerer $\Rightarrow\sum a_n$ konvergerer; $\sum a_n$ divergerer $\Rightarrow\sum b_n$ divergerer.
Forholdstesten
$L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$: $L\lt 1$ absolutt konvergens, $L\gt 1$ divergens, $L=1$ ingen info.
Eks: $\sum\frac{n^5}{2^n}$ ($L=\tfrac{1}{2}$, konv.); $\sum\frac{3^n}{n^2}$ ($L=3\gt 1$, div.); $\sum\frac{n!}{n^n}$ ($L=\tfrac{1}{e}\lt 1$, konv.).
Potensrekker og Taylor-rekker
Konvergensradius, Maclaurin-rekker, binomialrekken og restleddet
Rotstesten
$L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$: absolutt konvergens for $L\lt 1$, divergens for $L\gt 1$.
Potensrekker
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a)^n$ konvergerer absolutt for $|x-a|\lt R$ (konvergensradius).
$$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_n}{b_{n+1}}\right|\quad\text{(forholdstesten)}$$Taylor- og Maclaurin-rekker
| Funksjon | Maclaurin-rekke | $R$ |
|---|---|---|
| $e^x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ | $\infty$ |
| $\sin x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $\infty$ |
| $\cos x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$ | $\infty$ |
| $\ln(1+x)$ | $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ | $1$ |
| $\dfrac{1}{1-x}$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n$ | $1$ |
| $\arctan x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}$ | $1$ |
Binomialrekken
Restleddet
$f(x)=T_N(x)+R_N(x)$ med $\displaystyle|R_N(x)|\leq\frac{M_{N+1}}{(N+1)!}|x-a|^{N+1}$, $M_{N+1}=\max|f^{(N+1)}|$.
Potensrekker og Fouriertilnærming
Leddvis derivasjon/integrasjon, Fourier-koeffisienter, firkantfunksjon og kompleks form
Leddvis Derivasjon og Integrasjon
For $f(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$, $R\gt 0$:
$$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty nb_nx^{n-1},\qquad\int_0^x f(t)\,dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{b_n}{n+1}x^{n+1}\quad(|x|\lt R)$$Integrasjon kan utvide konvergensintervallet til endepunktene.
Fra $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^nx^{2n}$, integrer:
$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots,\quad x\in[-1,1]$$$x=1$: $\quad1-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{7}+\cdots=\dfrac{\pi}{4}$
Fra $e^{-t^2}=\sum\frac{(-1)^nt^{2n}}{n!}$:
$$E(x)=\int_0^xe^{-t^2}\,dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)n!}x^{2n+1}$$$E(1)\approx 1-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{10}-\tfrac{1}{42}+\tfrac{1}{216}\approx 0.74748$
Fouriertilnærming
Indreprodukt: $\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\,dx$ på $C[-\pi,\pi]$.
$f_N$ er den beste $L^2$-tilnærming til $f$ i $\operatorname{Span}\!\left\{\tfrac{1}{\sqrt{2}},\cos x,\ldots,\cos Nx,\sin x,\ldots,\sin Nx\right\}$.
$f(x)=\begin{cases}-1&-\pi\lt x\lt 0\\1&0\lt x\lt\pi\end{cases}$. Odde funksjon: $a_n=0$, $b_n=\frac{4}{n\pi}$ for odde $n$:
$$f_{2N+1}(x)=\frac{4}{\pi}\!\left(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots+\frac{\sin(2N+1)x}{2N+1}\right)$$Kompleks Form
Med $\langle f,g\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\overline{f}\,g\,dx$: $\langle e^{inx},e^{imx}\rangle=\delta_{nm}$.
$$f_N(x)=\sum_{n=-N}^Nc_ne^{inx},\qquad c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,dx$$Sammenheng: $a_n=2\operatorname{Re}(c_n)$, $b_n=-2\operatorname{Im}(c_n)$ for $n\gt 0$; $c_0=a_0/2$.
Fourierrekker og Konvergensteori
Fra tilnærming til rekke, Fouriers teorem, konvergenstyper og $x^2$-eksempelet
Fourierrekken
$$S_f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{inx}$$Fouriers Teorem
La $f$ være stykkevis kontinuerlig på $[-\pi,\pi]$:
- $f$ kont. i $x$: $S_f(x)=f(x)$
- Sprang i $x$: $S_f(x)=\tfrac{1}{2}(f(x^+)+f(x^-))$
- Endepunkter $x=\pm\pi$: $S_f(\pm\pi)=\tfrac{1}{2}(f(-\pi^+)+f(\pi^-))$
Utenfor $[-\pi,\pi]$: $S_f$ er den $2\pi$-periodiske utvidelsen av $f$.
Sett $x=0$: $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$
Konvergenstyper
- Punktvis: $f_N(x_0)\to f(x_0)$ for hvert punkt $x_0$
- Uniform: $\max_x|f_N(x)-f(x)|\to 0$ (alle punkter med samme hastighet)
- $L^2$ / minste kvadrater: $\int|f-f_N|^2\,dx\to 0$
Hierarki: uniform $\Rightarrow$ punktvis $\Rightarrow$ $L^2$.
- $f(x)=x^2$: uniform konvergens (glatt)
- Firkantfunksjon: punktvis (ikke i sprangpunkter) og $L^2$, men ikke uniform — Gibbs-fenomen (~9% overshoot ved sprang)
Fourierrekker: Avansert
Cosinus-representasjon, halvrekker, ODE med periodisk høyreside og konvergensoppsummering
Cosinus-representasjon (Amplitude-fase)
$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ (amplitude), $\theta_n=\arctan(b_n/a_n)$ (fase).
$a_n=0$, $b_n=4/(n\pi)$ for odde $n$ $\Rightarrow$ $A_n=b_n$, $\theta_n=\pi/2$:
$$S_f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\cos\!\left((2k+1)x-\frac{\pi}{2}\right)$$Halvrekker
For $f$ på $[0,\pi]$ finnes to $2\pi$-periodiske utvidelser:
- Like utvidelse → cosinusrekke: $a_n=\dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(nx)\,dx$
- Odde utvidelse → sinusrekke: $b_n=\dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx)\,dx$
Cosinusrekke (like utvidelse):
$$S^c_f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}$$Sinusrekke (odde utvidelse):
$$S^s_f(x)=\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(2kx)}{k}$$ODE med Periodisk Høyreside
$y''+y'+y=r(t)$, $r(t)$ har Fourierrekke $\sum a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)$.
Homogen løsning ($\lambda^2+\lambda+1=0\Rightarrow\lambda=-\tfrac{1}{2}\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}i$):
$$y_h(t)=e^{-t/2}\!\left(K_1\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)+K_2\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right)$$For hvert $n$ finnes spesiell løsning $A_n\cos(nt)+B_n\sin(nt)$ ved å sette inn og løse et $2\times 2$-system. Full løsning: $y=y_h+\sum_n y_{s,n}$; $K_1,K_2$ bestemmes fra initialverdier.
Oppsummering: Konvergenstyper
| Type | Betingelse | Styrke |
|---|---|---|
| Uniform | $f$ kontinu., stykkevis glatt | Sterkest |
| Punktvis | $f$ stykkevis kontinu. | Middels |
| $L^2$ (minste kv.) | $f\in L^2[-\pi,\pi]$ | Svakest |