Potensrekker, Taylor og Fourier

Komplett oversikt over rekker og rekketilnærming i TMA4410

1. Potensrekker

Definisjon

En potensrekke rundt $a$ er:

$$\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a)^n = b_0 + b_1(x-a) + b_2(x-a)^2 + \cdots$$

Den konvergerer absolutt for $|x-a| \lt R$ og divergerer for $|x-a| \gt R$, der $R$ er konvergensradius.

Finne konvergensradius

$$R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_n}{b_{n+1}}\right| \quad\text{(forholdstesten)}$$

Alternativt: $R = 1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}$ (rotstesten). Sjekk alltid endepunktene $x = a \pm R$ separat!

Leddvis derivasjon og integrasjon

For $f(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n x^n$ med $R \gt 0$:

$$f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n b_n x^{n-1}, \qquad \int_0^x f(t)\,dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{b_n}{n+1}x^{n+1}$$

Konvergensradius bevares ved derivasjon; integrasjon kan utvide intervallet til endepunktene.

Eksempel — $\arctan x$

Start med $\dfrac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}$ (geometrisk, $|x|\lt 1$). Integrer ledd for ledd:

$$\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots, \quad x \in [-1,1]$$

$x=1$: $\quad 1 - \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} - \cdots = \dfrac{\pi}{4}$

2. Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylorrekke rundt $a$

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$$

Maclaurinrekken er spesialtilfellet $a=0$.

Standard Maclaurinrekker — må kunne utenat

Funksjon	Maclaurinrekke	$R$
$e^x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$	$\infty$
$\sin x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$\infty$
$\cos x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$	$\infty$
$\ln(1+x)$	$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$	$1$
$\dfrac{1}{1-x}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n$	$1$
$\arctan x$	$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$	$1$

Binomialrekken

$$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n}x^n, \quad |x|\lt 1$$ $$\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$$

For heltallig $\alpha \geq 0$ avbrytes rekken og gir det vanlige binomialteoremet.

Restleddet (Lagrange)

$$f(x) = T_N(x) + R_N(x), \qquad |R_N(x)| \leq \frac{M_{N+1}}{(N+1)!}|x-a|^{N+1}$$

$M_{N+1} = \max_{t\text{ mellom }a\text{ og }x}|f^{(N+1)}(t)|$. Brukes for å estimere nøyaktigheten.

Eksempel — Restledd for $e^x$

Approksimer $e^{0.1}$ med $T_3$. Her $f^{(n)}(x)=e^x$, $a=0$, $M_4=e^{0.1}\lt 2$:

$$|R_3(0.1)| \leq \frac{2}{4!}(0.1)^4 = \frac{2 \cdot 0.0001}{24} \approx 8.3\times10^{-6}$$

3. Fouriertilnærming

Idé: finn den beste tilnærming til $f$ i rommet $V_N = \operatorname{Span}\{1, \cos x, \sin x, \ldots, \cos Nx, \sin Nx\}$ mht. $L^2$-normen.

Fourierkoeffisienter og tilnærming

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx$$ $$f_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \bigl(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\bigr)$$

$f_N$ er den beste $L^2$-tilnærming — Bessels ulikhet: $\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^N(a_n^2+b_n^2) \leq \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f^2\,dx$.

Like/Odde funksjoner

Like ($f(-x)=f(x)$): $b_n=0$ for alle $n$ — kun cosinusledd
Odde ($f(-x)=-f(x)$): $a_n=0$ for alle $n$ — kun sinusledd

Firkantfunksjon (odde)

$f(x)=\text{sgn}(x)$ på $(-\pi,\pi)$: $a_n=0$, $b_n = \dfrac{4}{n\pi}$ for odde $n$, ellers $0$:

$$f_{2N+1}(x) = \frac{4}{\pi}\!\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right)$$

4. Fourierrekken og Fouriers Teorem

Fourierrekken (uendelig)

$$S_f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \bigl(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\bigr)$$

Fouriers teorem (Dirichlet)

La $f$ være stykkevis kontinuerlig på $[-\pi,\pi]$:

$f$ kontinuerlig i $x_0$: $\quad S_f(x_0) = f(x_0)$
Sprang i $x_0$: $\quad S_f(x_0) = \dfrac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}{2}$ (gjennomsnitt)
$x = \pm\pi$: $\quad S_f(\pm\pi) = \dfrac{f(-\pi^+)+f(\pi^-)}{2}$

Utenfor $[-\pi,\pi]$: $S_f$ er den $2\pi$-periodiske utvidelsen av $f$.

Eksempel — $f(x)=x^2$ på $[-\pi,\pi]$

Like funksjon: $b_n=0$, $a_0=\frac{2\pi^2}{3}$, $a_n=\frac{4(-1)^n}{n^2}$:

$$S_f(x) = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$$

Sett $x=0$: $\quad\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$

Sett $x=\pi$: $\quad\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (Eulers resultat!)

5. Kompleks form og Amplitude-fase

Kompleks Fourierrekke

$$S_f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}, \qquad c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,dx$$

Sammenheng med reelle koeffisienter: $a_n = 2\operatorname{Re}(c_n)$, $b_n = -2\operatorname{Im}(c_n)$ for $n\gt 0$; $c_0 = a_0/2$.

Amplitude-fase-form

$$S_f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty A_n\cos(nx - \theta_n)$$ $$A_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}, \qquad \theta_n = \arctan\!\left(\frac{b_n}{a_n}\right)$$

6. Halvrekker

For en funksjon $f$ definert på $[0,\pi]$ kan man velge to $2\pi$-periodiske utvidelser:

Like og odde utvidelse

Like utvidelse → cosinusrekke: $\displaystyle a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(nx)\,dx$, alle $b_n=0$
Odde utvidelse → sinusrekke: $\displaystyle b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx)\,dx$, alle $a_n=0$

7. Konvergenstyper

Tre typer konvergens

Punktvis: $f_N(x_0) \to f(x_0)$ for hvert enkelt $x_0$
Uniform: $\max_x|f_N(x)-f(x)| \to 0$ — alle punkter konvergerer med samme hastighet
$L^2$ (minste kvadrater): $\int_{-\pi}^\pi|f-f_N|^2\,dx \to 0$

Hierarki: uniform $\Rightarrow$ punktvis $\Rightarrow$ $L^2$. Det omvendte gjelder ikke generelt.

Gibbs-fenomenet

Ved sprang i $f$ overestimerer Fourierrekken med ca. 9% av spranghøyden rett ved diskontinuiteten — uansett hvor mange ledd man tar med. Dette er Gibbs-fenomenet: rekken konvergerer ikke uniformt ved sprang.

Type	Betingelse på $f$	Styrke
Uniform konvergens	Kontinuerlig, stykkevis glatt	Sterkest
Punktvis konvergens	Stykkevis kontinuerlig	Middels
$L^2$-konvergens	$f \in L^2[-\pi,\pi]$	Svakest

Rask Oversikt

Tema	Nøkkelformel	Type
Potensrekke	$\sum b_n(x-a)^n$, konv. for $\|x-a\|\lt R$	Potens
Konvergensradius	$R=\lim\|b_n/b_{n+1}\|$	Potens
Taylorrekke	$\sum f^{(n)}(a)/n!\cdot(x-a)^n$	Taylor
Restledd	$\|R_N\|\leq M_{N+1}/(N+1)!\cdot\|x-a\|^{N+1}$	Taylor
Fourierkoeff.	$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f\cos(nx)dx$	Fourier
Fouriers teorem	$S_f(x_0) = \frac{1}{2}(f(x_0^+)+f(x_0^-))$	Fourier
Kompleks form	$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f e^{-inx}dx$	Fourier
Halvrekker	Like → cosinus, Odde → sinus	Fourier

Standard Maclaurinrekker

Disse må du ha i hodet

$e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$, $\quad R=\infty$
$\sin x = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\quad R=\infty$
$\cos x = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$, $\quad R=\infty$
$\dfrac{1}{1-x} = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n$, $\quad R=1$
$\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$, $\quad R=1$
$\arctan x = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$, $\quad R=1$

Vanlige Feil

Pass på

Konvergensradius $R$ gjelder for $|x-a|\lt R$ — sjekk endepunktene separat
Taylorrekken til $f$ konvergerer mot $f$ bare hvis $R_N(x)\to 0$ — bevis dette!
$\ln(1+x)$: konvergerer i $x=1$ (betinget), divergerer i $x=-1$
Fourier-koeffisienter: $a_0$ brukes delt på 2 i rekken: $\frac{a_0}{2}+\cdots$
Fouriers teorem gjelder i sprangpunkter — $S_f$ gir gjennomsnittet, ikke $f$-verdien
Gibbs: Fourierrekken konvergerer aldri uniformt hvis $f$ har sprang

Nyttige identiteter fra Fourier

Klassiske $\pi$-formler via Fourier

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (sett $x=\pi$ i $f(x)=x^2$)
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ (sett $x=0$)
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$ (Leibniz, fra $\arctan 1$)

Kort 1 av 12

Klikk på kortet for å snu det

Begrep / Formel

Svar