Definisjoner, bevis og oppskrifter for typiske eksamensoppgaver
$T:V\to W$ er en lineærtransformasjon dersom for alle $u,v\in V$ og $r\in\mathbb{R}$:
Ekvivalent: $T(ru+sv) = rT(u)+sT(v)$ for alle $r,s\in\mathbb{R}$ (linearitet).
Sjekk $T(\mathbf{0})$ først: hvis $T(\mathbf{0}) \neq \mathbf{0}$ er $T$ ikke lineær — stopp der.
Kjerne: $\operatorname{Ker}T = \{v \in V \mid T(v) = \mathbf{0}_W\}$ — underrom av $V$
Bilde (range): $\operatorname{Ran}T = T(V) = \{T(v) \mid v \in V\}$ — underrom av $W$
Ofte kalt dimensjonssetningen eller nullity-rank theorem.
Løs $T(v) = \mathbf{0}$. Sett opp ligningssystemet og finn alle løsninger. Uttrykk svaret som et spenn.
Beregn $T(v_i)$ for alle basisvektorer $v_i$ i $V$. Span av disse bildene er $\operatorname{Ran}T$. Sjekk om de er lineært uavhengige for å finne dimensjonen.
Hvis $\dim V = \dim W$ og $T$ er lineær:
Kan spare mye arbeid: vis bare én av de to.
| $\dim(\operatorname{Ker}T)$ | $\dim(\operatorname{Ran}T)$ | Injektiv? | Surjektiv? |
|---|---|---|---|
| $0$ | $\dim V$ | Ja | Avhenger av $\dim W$ |
| $\gt 0$ | $\lt \dim V$ | Nei | Avhenger av $\dim W$ |
| $0$ | $\dim V = \dim W$ | Ja | Ja |
For å vise at $U \subseteq V$ er et underrom — tre ting:
$\operatorname{Ker}T$ og $\operatorname{Ran}T$ er alltid underrom — man trenger ikke bevise dette eksplisitt.
For $T:V\to W$ med baser $B_V=\{v_1,\ldots,v_n\}$ og $B_W=\{w_1,\ldots,w_m\}$:
$$[T]_{B_W\leftarrow B_V} = \bigl[[T(v_1)]_{B_W} \;\big|\; [T(v_2)]_{B_W} \;\big|\; \cdots \;\big|\; [T(v_n)]_{B_W}\bigr]$$Da gjelder: $[T(v)]_{B_W} = [T]_{B_W\leftarrow B_V} \cdot [v]_{B_V}$
$[T]_{\text{std}} = \bigl[T(e_1) \mid T(e_2) \mid \cdots \mid T(e_n)\bigr]$ — bare regn ut bildene av standardbasisvektorene og sett dem som kolonner.
$T:V\to W$ er en isomorfi dersom $T$ er bijektiv (injektiv og surjektiv). Da er $V \cong W$, og spesielt $\dim V = \dim W$.
Koordinatavbildningen $K:V\to\mathbb{R}^n$ er alltid en isomorfi — ethvert $n$-dimensjonalt vektorrom er isomorft med $\mathbb{R}^n$.
Sammenheng: for $T_A(x)=Ax$ er $\operatorname{Ker}T_A = \operatorname{Nul}A$ og $\operatorname{Ran}T_A = \operatorname{Col}A$.
Eksakt oppskrift for de vanligste eksamensoppgavene. Lær deg strukturen — så varierer du innholdet.
$T\!\left(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}a&0\\0&d\end{bmatrix}$. La $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}$, $r\in\mathbb{R}$.
Additivitet:
$$T(A+B)=T\!\left(\begin{bmatrix}a+e&b+f\\c+g&d+h\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}a+e&0\\0&d+h\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&0\\0&d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}e&0\\0&h\end{bmatrix}=T(A)+T(B)\;\checkmark$$Homogenitet:
$$T(rA)=T\!\left(\begin{bmatrix}ra&rb\\rc&rd\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}ra&0\\0&rd\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}a&0\\0&d\end{bmatrix}=rT(A)\;\checkmark$$$\Rightarrow$ $T$ er en lineærtransformasjon.
$T(A)=\mathbf{0} \Rightarrow \begin{bmatrix}a&0\\0&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} \Rightarrow a=0,\;d=0$.
$b$ og $c$ er frie. Altså:
$$\operatorname{Ker}T = \left\{\begin{bmatrix}0&b\\c&0\end{bmatrix}\;\bigg|\; b,c\in\mathbb{R}\right\} = \operatorname{Span}\!\left\{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}\right\}$$$\dim(\operatorname{Ker}T) = 2$.
Injektivitet: $\operatorname{Ker}T = \operatorname{Span}\!\left\{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}\right\} \neq \{\mathbf{0}\}$
$\Rightarrow$ $T$ er ikke injektiv. (Konkret: $T\!\left(\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\right)=\mathbf{0}$ men $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\neq\mathbf{0}$.)
Surjektivitet: $\dim(\mathcal{M}_2) = 4$, $\dim(\operatorname{Ker}T) = 2$, så $\dim(\operatorname{Ran}T) = 4-2 = 2 \lt 4 = \dim W$.
$\Rightarrow$ $T$ er ikke surjektiv. (Konkret: $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2$ er ikke i $\operatorname{Ran}T$, siden alle bilder har $b$-posisjon $=0$.)
$\operatorname{Ker}T$ og $\operatorname{Ran}T$ er alltid underrom for lineær $T$ — du trenger ikke bevise dette hvis oppgaven bare ber deg bestemme dem. Men hvis oppgaven eksplisitt sier «vis at det er et underrom», bruk de tre punktene over.
Klikk på kortet for å snu det